协和医院神经外科住院医师金山木近日发表预印本论文，借助AI证明了困扰数学界22年的克鲁瓦猜想。
在AI的辅助下，越来越多“外行”，正不断突破曾经只属于顶尖专家的高墙。
撰文 | 郭雪梅
白天写病历、跟手术，晚上让AI自主推演数学定理，这并非科幻情节，而是一位神经外科住院医师的真实日常。
近日，美国康奈尔大学数学系副教授Alex Townsend将一篇拟刊发于SIAM News的文章公开在其个人网站上。文章介绍，北京协和医院神经外科的住院医师金山木（Shanmu Jin）使用GPT-5.6 Sol（ChatGPT Work模式）证明了困扰数学界22年的克鲁瓦（Crouzeix）猜想。
经Townsend、华盛顿大学数学家Anne Greenbaum，以及猜想提出者Michel Crouzeix本人逐一核验，三方一致确认：推导严谨，逻辑成立。
一名未接受系统数学训练的临床医生，借助大语言模型攻克了纯数学领域的顶级难题。这不仅震动了数学界，或许也为医生、医学生指明了新的发展方向。
Alex Townsend文章截图
利用AI攻克数学难题
据Townsend在SIAM News发表的文章中回忆，今年7月30日，他像往常一样使用ChatGPT 5.6尝试推导克鲁瓦猜想。在此之前，该模型要么给出漏洞百出的证明，要么在关键引理处卡壳。
但这一次，AI推送了一篇三天前上线的预印本论文。论文标题为The Numerical Range Is a 2-Spectral Set，作者栏写着：Shanmu Jin。
Townsend与本文另一位作者、华盛顿大学数学家Anne Greenbaum起初满是疑惑，这是因为这个猜想已悬置二十余年，学界积累了海量研究却始终未能突破。
两人花了数小时逐行细读，最终确认论证逻辑成立。随后，猜想提出者Michel Crouzeix也独立完成了核验。三人一致认为金山木的论文推导成立。需要说明的是，该论文目前仍是预印本，尚未通过正式同行评审。
公开资料显示，SIAM News是美国工业与应用数学学会（SIAM）旗下的权威新闻期刊，SIAM则是全球应用数学领域最具影响力的学术组织之一。该文两位作者Townsend与Greenbaum均是行业内知名数学家。
其中，Townsend是康奈尔大学数学系副教授，拥有牛津大学博士学位，曾获Leslie Fox Prize、NSF CAREER奖及Simons Fellowship等荣誉；Greenbaum则是华盛顿大学波音应用数学讲席教授、SIAM Fellow，数值线性代数领域的权威学者。
Alex Townsend个人网站页面
克鲁瓦猜想是什么，难在何处？2004年，法国数学家Michel Crouzeix正式提出这一猜想：对任意复方阵A与多项式p，矩阵多项式的谱范数满足‖p(A)‖₂≤ 2 max_{z∈W(A)} |p(z)|。
简单来说，它试图用复平面上一个凸集（数值域）上的函数最大值，来控制矩阵函数的大小。这一不等式是连接复平面逼近理论与矩阵函数分析、GMRES迭代法、Krylov子空间方法的关键桥梁，在数值计算和工程应用中具有极高价值。
多年来，学界一直在尝试攻关该问题。2007年，Crouzeix证明常数11.08可使不等式成立；2017年，Crouzeix与Palencia将常数优化至1+√2≈2.414；同年，美国数学研究所（AIM）还专门举办为期一周的专题研讨会集中攻关，但猜想始终未被完整证明。
而金山木论文中的核心定理，诞生于GPT-5.6 Sol（ChatGPT Work模式）下一段约16小时、全程无人工干预的自主推演流程。
与常规提问不同，他使用了一套高度定制化的提示词，比如限制模型访问公网与外部资料，推演全程无人为介入；提示词要求模型并行生成多条完全独立的证明思路，启动大量子智能体分别搭建证明框架，同时禁止所有智能体过早趋同于同一种思路；每一套候选证明都要经过对抗式校验，仅依靠反例筛除不成立的推导路径等。
这套提示词改编自OpenAI用于攻克双圈覆盖猜想的模板。目前，金山木已将提示词完整开源，同步上传多版迭代手稿、Lean形式化验证代码、全部公理校验资料，供全球同行复现、检验推导过程。
Townsend在文章中特别提到，金山木所有相关数学研究，都是在繁重的神经外科临床工作间隙完成的。
就在首版预印本发布仅8天后，数学家Emiel Lorist与Felix Schwenninger发布了另一套独立证明，全文仅5页，他们依靠经典双层积分表示结合2 -膨胀扰动引理完成证明，论证路径与金山木完全不同。两人表示，他们同样借助ChatGPT 5.6梳理、探索证明思路。
Townsend在文章中写道，金山木看到这份独立成果后十分欣喜，认为两套截然不同的证明能够互为补充，短时间内两种完整解法相继出现，这令他倍感振奋。
AI正帮助人类攻克医学难题
公开资料显示，金山木拥有多重专业背景，2024年取得医学博士学位。在数学背景方面，他在校阶段仅修读理工科通用基础数学课程，全部高阶矩阵分析等相关知识均为自学。
他在邮件中告诉Townsend，自己踏入矩阵分析领域的契机，源于经颅超声相关临床研究。自学该方向时，他接触到克鲁瓦猜想，并被其极简的命题表述、数值域自带的几何直观深深吸引。
即便此次完成了如此突破性的工作，金山木在往来通信中仍十分谦逊，坦言能找到核心证明思路，运气占了很大一部分。
Townsend与Greenbaum在文章中感慨，一名无系统数学训练背景的临床医师，借助大语言模型证明了悬置二十余年的重大猜想，这在数年前完全难以想象。他们预判，未来非专业数学研究者依托人工智能取得重大突破的案例会持续增多。
事实上，金山木的故事并非孤例。AI正在帮助不同领域的“外行”攻克曾经只有顶尖专家才能触及的难题。
在医学与生命科学领域，这种跨界突破已不鲜见。2021年，DeepMind的AlphaFold2解决了困扰生物学界50年的蛋白质折叠问题，而它的核心开发者John Jumper并非生物学家，而是一名理论化学博士，最终改写了整个结构生物学的研究范式。
甚至连患者家属也在借助AI跨越专业鸿沟。
2023年，美国一名男孩因反复疼痛辗转17位医生仍未确诊，他的母亲作为一名非医学专业人士，将病历输入ChatGPT，AI提出了“脊髓栓系综合征”的诊断，这是此前没有任何医生提及过的病因。最终，一名神经外科医生确认了该诊断并实施了手术。
与此同时，临床医生借助AI突破专业边界的案例也层出不穷。
越来越多的内科医生自学Python和机器学习，从海量病历数据中挖掘新的诊疗规律；放射科医生与计算机科学家合作，让AI读片精度超越人类专家；病理科医生借助深度学习算法，从组织切片中发现肉眼无法识别的早期癌变信号。
对于医生与医学生而言，这背后或许有更深层的启示。未来的医学突破，很可能不再只来自实验室里的生物学家，也可能来自一位懂矩阵分析的神经外科医生、一位会写代码的病理科住院医师。
当AI承担了最繁重的推演与计算，人类的核心竞争力或许正在从“知识的记忆者”转向“问题的提出者”和“方向的判断者”。
参考资料：
[1]https://alextownsend.net/essays/SIAMNews_CrouzeixConjecture.pdf
[2]https://alextownsend.net/essays/